A. Kiến thức cơ bản
Ví dụ 1: Tìm \(x \in Q\) biết : \(\frac{ -2}{5} + \frac{ 5}{6}x = \frac{ -4}{15}\).
Giải:
\(\frac{ -2}{5} + \frac{ 5}{6}x = \frac{ -4}{15} \Leftrightarrow \frac{ 5}{6}x = \frac{ -4}{15} - \frac{ -2}{5}\) \(\Leftrightarrow \frac{ 5}{6}x = \frac{ 2}{15} \Leftrightarrow x = \frac{ 2}{15} : \frac{ 5}{6} \Leftrightarrow x = \frac{ 4}{25}\).
Giải:
Phương trình đã cho tương đương:
\((x+2014)\left ( \frac{1}{2}+\frac{2}{7} \right ) = (x+2014)\left (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right ) \)
\(\Leftrightarrow (x+2014)\left ( \frac{1}{2}+\frac{2}{7}- \frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right ) =0 \)
Dễ thấy: \(\left (\frac{1}{2}+\frac{2}{7}- \frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right ) \neq 0\) nên suy ra: \( x+ 2014=0\) hay \( x=-2014\).
Ta có: \(\left(x - \frac{1}{5}\right)\left(y + \frac{1}{2}\right)\left(z - 3\right) = 0\)
Ta có: \(\left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}x + \frac{2}{3}\right) < 0\)
Ví dụ 7: Tính: \( A=\frac{-1}{2003.2002} - \frac{1}{2002.2001} - \frac{1}{2001.2000}-...- \frac{1}{3.2} -\frac{1}{2.1}\).
Giải:
Dễ thấy: \( \frac{1}{(n+1)n}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\).
\(\Rightarrow A= -\left ( \frac{1}{2003.2002} + \frac{1}{2002.2001} + \frac{1}{2001.2000}+...+ \frac{1}{3.2} +\frac{1}{2.1} \right ) \)
\( = -\left ( \frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}+ \frac{1}{2000}- \frac{1}{2001}+....+ 1-\frac{1}{2} \right ) \)
\( =-\left ( 1-\frac{1}{2003} \right ) \) \( = \frac{-2002}{2003}\).
Ví dụ 8: Tìm \(x\) biết \(x \notin \left\{1 ; 3 ; 8 ; 20\right\}\) và:
\(\frac{2}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{5}{(x - 3)(x - 8)} + \frac{12}{(x - 8)(x - 20)} - \frac{1}{x - 20} = -\frac{3}{4}\).
Giải:
Ta có: \(\frac{2}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{5}{(x - 3)(x - 8)} + \frac{12}{(x - 8)(x - 20)} - \frac{1}{x - 20}\)
\(= \frac{(x - 1) - (x - 3)}{(x - 3).(x - 1)} + \frac{(x - 3) - (x - 8)}{(x - 8).(x - 3)} + \frac{(x - 8) - (x - 20)}{(x - 20).(x - 8)} - \frac{1}{x - 20}\).
\(= \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x - 20} - \frac{1}{x - 8} -- \frac{1}{x - 20} = -\frac{1}{x - 1}\).
\(\Rightarrow -\frac{1}{x - 1} = -\frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{7}{3}\).
Ví dụ 9*: Viết 5 số hữu tỉ trên một vòng tròn sao cho trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng \( \frac{1}{36}\). Tìm cách viết đó.
Giải:
Gọi 5 số hữu tỉ đó là \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\), dễ thấy các số này đều khác 0.
Ta có: \(a_{1}a_{2}= a_{2}a_{3} \Rightarrow a_{1}=a_{3}\)
Tương tự có: \(a_{2}=a_{4}, a_{3}= a_{5}\)
Mà: \(a_{1}a_{2}= a_{5}a_{1} \Rightarrow a_{2}=a_{5}\).
\( \Rightarrow a_{1}=a_{2}= a_{3}= a_{4}= a_{5}= \pm \frac{1}{6} \).
Ví dụ 10**: a) Cho 13 số hữu tỉ, trong đó tổng của bốn số bất kì nào cũng là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 13 số đó là một số dương.
b) Cho 13 số hữu tỉ, trong đó tích của 3 số bất kì nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng 13 số đã cho đều là số âm.
Giải:
Giải sử 13 số đã cho lần lượt là: \(a_1 ; a_2 ; a_3 ; ... ; a_{12} ; a_{13}\).
a) Ta xét 13 tổng sau: \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 > 0\)
\(a_2 + a_3 + a_4 + a_5 > 0\)
\(a_3 + a_4 + a_5 + a_6 > 0\)
.....
\(a_{13} + a_1 + a_2 + a_3 > 0\).
Cộng các bất đằng thức trên vế theo vế ta được: \(4(a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{13}) > 0\).
\(\Rightarrow a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{13} > 0\)
Vậy tổng của 13 số đã cho là một số dương.
b) Xét 13 tích sau: \(a_1.a_2.a_3 < 0, a_2.a_3.a_4 < 0, ..., a_{13}.a_1.a_2 < 0\).
Suy ra: \((a_1.a_2.a_3...a_{13})^3 < 0 \Rightarrow a_1.a_2.a_3...a_{13} < 0\).
Tách riêng một số từ tích 13 số nói trên, 12 số còn lại chia thành 4 nhóm ba số ta có:
\((a_1.a_2.a_3).(a_4.a_5.a_6).(a_7.a_8.a_9).(a_{10}.a_{11}.a_{12}).a_{13} < 0\).
Ta thấy tích mỗi nhóm ba số là một số âm nên tích của 4 nhóm như vậy là số dương suy ra số được tách riêng ra là một số âm.
Tương tự cho 13 số và ta được 13 số đã cho đều là số âm.
C. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức :
a) \(A = \left(-\frac{ 5}{9}\right).\frac{ 3}{11} + \left(-\frac{ 13}{18}\right).\frac{ 3}{11}\) b) \(B = \frac{ \frac{ 3}{4} - \frac{ 3}{5} + \frac{ 3}{7} + \frac{ 3}{11}}{\frac{ 13}{4} - \frac{ 13}{5} + \frac{ 13}{7} + \frac{ 13}{11}}\)
Bài tập 2: Tính nhanh:
\(M = \frac{75 - \frac{6}{13} + \frac{3}{17} - \frac{3}{19}}{275 - \frac{22}{13} + \frac{11}{7} - \frac{11}{19}}\).
\(N = \frac{1}{13} + \frac{3}{13.23} + \frac{3}{23.33} + ... + \frac{3}{2303.2306}\).
Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức:
\(D = \frac{2.2306}{1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + ... + \frac{1}{1 + 2 + ... + 2306}}\).
Bài tập 4: Tìm \( x \) biết:
a) \( 7(x-1)+2x(1-x)=0\).
b) \( \frac{3}{4}+\frac{1}{4}:x=\frac{2}{5}\).
Bài tập 5: Tính:
\(T = \left(\frac{1}{2} - 1\right)\left(\frac{1}{3} - 1\right) ... \left(\frac{1}{2014} - 1\right)\left(\frac{1}{2015} - 1\right)\).
Bài tập 6: Tồn tại hay không hai số dương \(a\) và \(b\) khác nhau sao cho \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}\).
Bài tập 7: Tìm \(x\) biết:
\(\frac{x + 1}{2014} + \frac{x + 2}{2013} + \frac{x + 3}{2012} = \frac{x + 10}{2005} + \frac{x + 11}{2004} + \frac{x + 12}{2003}\).
Bài tập 8: Tìm \(x\) biết \(x \notin \left\{-2; -5; -10; -17\right\}\) và:
\(\frac{3}{(x + 2)(x + 5)} + \frac{5}{(x + 5)(x + 10)} + \frac{7}{(x + 10)(x + 17)} = \frac{x}{(x + 2)(x + 17)}\).
Bài tập 9*: Cho 1000 số, trong đó tích 3 số bất kì là một số dương. Chứng minh rằng 1000 số ấy đều dương.
Bài tập 10*: Viết 120 số 1 hoặc \(-1\) theo một vòng tròn. Biết rằng tích của ba số bất kì cạnh nhau trong vòng tròn đó bằng \(-1\). Tính tổng của 120 số đó.
Bài tập 11*: Viết \(2n+1\) số hữu tỉ trên một vòng tròn trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng \( \frac{1}{100}\) (với \(n\) là số nguyên dương). Tìm các số đó.
Bài tập 12*: Tính \( P= \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}}{\frac{2014}{1}+ \frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}} \).