Các em thân mến,
Để học tốt chuyên đề này, các em hãy làm theo các bước sau đây:
Bước 1: Đọc và hiểu rõ từng ý trong phần “A. Kiến thức cơ bản”. Hãy đặt câu hỏi và nhờ thầy giải thích mọi khúc mắc trong phần này.
Bước 2: Xem các bài tập ví dụ trong phần “B. Ví dụ minh họa”. Hiểu rõ cách ứng dụng kiến thức đã nêu ở phần A vào cách giải các bài tập này.
Bước 3: Ứng dụng các kiến thức và kinh nghiệm trên vào việc tự giải các bài trong phần “C. Bài tập tự luyện”.
A. Kiến thức cơ bản
\(\bullet\) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
\(\bullet\)
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường
thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác (hình a).
\(\bullet\) Tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^0\)
Tứ giác \(ABCD \Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{B} +\widehat{C} +\widehat{D} = 360^{o}\).
\(\bullet\) Góc kề bù với một góc của một tứ giác là góc ngoài của tứ giác.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh chỉ lấy một góc ngoài).
Giải:
Xét tứ giác ABCD, các góc ngoài là \(\widehat{A_1}, \widehat{B_1}, \widehat{C_1}, \widehat{D_1}\).
Tứ giác ABCD có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^0\)
\(\Rightarrow 180^0 - \widehat A_1 + 180^0 - \widehat B_1 + 180^0 -\widehat C_1 + 180^0 - \widehat D_1 = 360^0\)
\(\Rightarrow 720^0 - (\widehat A_1 + \widehat B_1 + \widehat C_1 + \widehat D_1) = 360^0\)
\(\Rightarrow \widehat A_1 + \widehat B_1 + \widehat C_1 + \widehat D_1 = 360^0\).
Ví dụ 2: Tìm x ở hình bên:
Giải:
Áp dụng tính chất về góc vào tứ giác MNPQ ta được:
\(\widehat M + \widehat N + \widehat P + \widehat Q = 360^0\)
hay \( 3x + 4x + x + 2x = 360^0\) \(\Leftrightarrow 10x = 360^0 \Leftrightarrow x =36^0\).
Ví dụ 3: Tứ giác BCDE có: \(\widehat B=120^0; \widehat C = 50^0; \widehat D - \widehat E = 40^0\). Tính \( \widehat D , \widehat E\).
Giải:
Áp dụng tính chất về góc vào tứ giác BCDE ta có: \( \widehat B + \widehat C + \widehat D + \widehat E = 360^0 \)
\(\Leftrightarrow 120^0 + 50^0 + \widehat D + \widehat E = 360^0 \Rightarrow \widehat D + \widehat E = 190^0\) (1)
Mà theo đề ra ta có: \(\widehat D - \widehat E = 40^0 \Leftrightarrow \widehat D = \widehat E + 40^0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat E + 40^0 + \widehat E = 190^0 \Leftrightarrow \widehat E = 75^0 \)
\(\widehat D= 115^0 ; \widehat E = 75^0\).
Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.
Giải:
Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC:
AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong tam giác ADC)
Suy ra: 2AC < AB + BC + AD + DC. Do đó:
\(AC < \frac{AB + BC + AD + DC}{2}\)
Vậy AC nhỏ hơn nữa chu vi tứ giác ABCD. Chứng minh tương tự, BD nhỏ hơn nữa chu vi tứ giác ABCD.
Ví dụ 5: Tìm điểm M trong tứ giác ABCD sao cho tổng các khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất.
Giải:
Vẽ hai đường chéo AC và BD. Ta có:
\(MA + MC \geq AC\), có đẳng thức \(\Leftrightarrow M \in AC\)
\(MB + MD \geq BD\), có đẳng thức \(\Leftrightarrow M \in BD\)
Suy ra \(MA + MB + MC + MD \geq AC ++ BD\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow M \in AC, M \in BD \Leftrightarrow\) M là giao điểm của AC và BD.
Vậy \(MA + MB + MC + MD\) nhỏ nhất khi M là giao điểm của hai đường chéo.
Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat A : \widehat B : \widehat C : \widehat D = 6 : 5 : 4 : 3\). Tính các góc của tứ giác ABCD.
Giải:
Tứ giác ABCD có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^0\)
Mặt khác \(\widehat A : \widehat B : \widehat C : \widehat D = 6 : 5 : 4 : 3\), theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\( \frac{\widehat A}{6} = \frac{\widehat B}{5} = \frac{\widehat C}{4} =
\frac{\widehat D}{3} = \frac{\widehat A + \widehat B + \widehat C +
\widehat D}{6 + 5 + 4 + 3} = \frac{360^0}{18} = 20^0\)
\(\Rightarrow \widehat A = 20^0.6 = 120^0\)
\(\widehat B = 20^0.5 = 100^0\)
\(\widehat C = 20^0.4 = 80^0\)
\(\widehat D = 20^0.3 = 60^0\).
Ví dụ 7: Chứng minh trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi tứ giác đó.
Giải:
Giả sử tứ giác ABCD có: \(AB = a, BC = b, CD = c, DA = d\).
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
\(AC + BD = AO + OB + OC + OD > AB + CD = a + c\)
Tương tự: \(AC + BD > b + d\).
Suy ra: \(2(AC + BD) > a + b + c + d \Rightarrow AC + BD = \frac{a + b + c + d}{2}\)
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(AC < a + b; AC < c + d\)
\(BD < b + c; BD < a + d\)
\(\Rightarrow 2(AC + BD) < 2(a + b + c + d)\).
\(\Rightarrow AC + BD < a + b + c + d\).
Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.
Ví dụ 8: Đường
chéo AC của tứ giác ABCD chia tứ giác đó thành hai tam giác có chu vi
25cm và 27cm. Biết chu vi của tứ giác bằng 32cm. Tính độ dài AC.
Giải:
Theo giả thiết, chu vi tứ giác ABC là: AB + BC + CD + AD = 32 (cm). (1)
Tổng chu vi hai tam giác ABC và ACD là: 25 + 27 = 52 (cm).
Suy ra: (AB + BC + AC) + (AC + CD + DA) = 52 (cm), hay (AB + BC + CD + DA) + 2AC = 52 (cm) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: 32 + 2AC = 52 \(\Rightarrow \) AC = 10 (cm).
Ví dụ 9*: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^0, \widehat C = \alpha < 90^0\). Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C, lấy điểm E sao cho \(\widehat {ABE} = \widehat{ABD}\) và \(\widehat{ADE} = \widehat{ADB}\). Tính góc BED theo \(\alpha\).
Giải:
Xét tứ giác ABCD ta có:
\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat {C} + \widehat{D} = 360^0\)
\(\Rightarrow \widehat{A} + 90^0 + \widehat{C} + 90^0 = 360^0\)
\(\Rightarrow \widehat{A} + \widehat{C} = 180^0\)
\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^0 - \widehat{C} = 180^0 - \alpha\).
Xét tam giác ABD có:
\(\widehat{B_1} + \widehat{D_1} = 180^0 - \widehat{A} = 180^0 - (180^0 - \alpha) = \alpha\)
\(\Rightarrow \widehat{EBD} + \widehat{EDB} = 2(\widehat{B_1} + \widehat{D_1}) = 2\alpha\).
Xét tam giác EBD có: \(\widehat{E} = 180^0 - (\widehat{EBD} + \widehat{EDB}) = 180^0 - 2\alpha\).
Ví dụ 10*: Cho tứ giác lồi ABCD có \(\widehat B + \widehat D = 180^0\).
Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, hai đường thẳng AB và DC cắt
nhau tại F. Vẽ tia phân giác của hai góc BFC và CED. Chúng cắt nhau tại
M. Chứng minh rằng \(\widehat {EMF} = 90^0\).
Giải:
Gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng FM với EB, EA
Ta có: \( \widehat {EHK} = \widehat {BCF} + \widehat {F_1}\) (1)
( \(\widehat {EHK}\)là góc ngoài của tam giác HFC)
Và \(\widehat {EKM} = \widehat {BAD} + \widehat {F_2}\) (2)
( \( \widehat {EKM}\) là góc ngoài của tam giác FAK)
Tứ giác ABCD có \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = 360^0\)
Mà \( \widehat {ABC} + \widehat {CDA} = 180^0\) nên \(\widehat {BAD} + \widehat {BCD}=180^0\)
\(\widehat {BCF} + \widehat {BCD} = 180^0\) ( tính chất hai góc kề bù) nên \(\widehat{BAD} = \widehat{BCF}\) (3)
Ta lại có:\( \widehat {F_1} = \widehat {F_2}\) (4)
Từ (1); (2); (3); (4) suy ra: \(\widehat {EHK} = \widehat {EKM}\)
Do đó, tam giác EHK cân tại E.
Lại có EM là đường phân giác của tam giác EHK nên EM đồng thời là đường cao.
Nên, \(\widehat{EMF} = 90^0\).
C. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có: \(\widehat B = 120^0; \widehat C = 50^0; \widehat D = 90^0\). Tính góc A và góc ngoài tứ giác tại đỉnh A.
Bài tập 2: Tính các góc của tứ giác EFGH biết: \(\widehat E:\widehat F:\widehat G:\widehat H = 1:2:3:5\)
Bài tập 3: Bốn góc của tứ giác có thể đều là :
- Góc nhọn
- Góc tù
- Góc vuông
Được hay không? Vì sao? Suy ra trong một tứ giác có nhiều nhất mấy góc nhọn?
a) Chứng minh rằng \(AB + CD < AC + BD\).
b) Cho biết \(AB + BD \leq AC + CD\). Chứng minh rằng: \(AB < AC\).
Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A} + \widehat{C} = 180^0, AB < AD\). AC là tia phân giác của góc BAD. Trên cạnh AD lấy E sao cho \(AE = AB\). Chứng minh rằng \(BC = CE = CD\).
Bài tập 6: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A} = \widehat{C} = 90^0\). Vẽ tia phân giác của góc B cắt AD tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với BE cặt BC tại F. Chứng minh rằng DF là tia phân giác của góc D.
Bài tập 7: Tứ giác ABCD có AC là tia phân giác của góc A, BC = CD, AB < AD.
a) Lấy điểm E trên cạnh AD sao cho AE = AB. Chứng minh rằng \(\widehat{ABC} = \widehat{AEC}\).
b) Chứng minh rằng \(\widehat{B} +\widehat{D} = 180^o\).
Bài tập 8: Cho tứ giác ABCD, \(\widehat{A} = 100^0, \widehat{B} = 120^0\). Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại E. Các tia phân giác góc ngoài tại C và D cắt nhau tại F. Tính các góc của tứ giác DECF.
Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng, nếu chu vi tam giác ABD không lớn hơn chu vi tam giác ACD thì \(AB < AC\).
Bài tập 10: Cho một tứ giác không có hai góc nào bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác ấy có ít nhất một góc nhọn một góc tù.
Bài tập 11*: Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC. Đường thẳng qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: \(\widehat{AEM} = \widehat{MFB}\).
Bài tập 12**: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC và M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' và MN đồng quy.
Hy vọng rằng, các nội dung hướng dẫn trên đã giúp các em hiểu và thành thục hơn chuyên đề toán này. Mong các em tiếp tục tự luyện tập bằng cách tham khảo thêm các bài toán cùng chuyên đề trên mạng Pitago.Vn
Chúc các em tiến bộ và thành công!
Ban Biên Tập
Mạng Giáo Dục Pitago.Vn